چرا قطب N قطب نما به سمت شمال می ایستد؟

کره زمین یک آهنربای بزرگ است که دو قطب شمال و جنوب دارد. از نظر جغرافیایی محل قرار گرفتن قطب شمال مغناطیسی، در قطب جنوب زمین و محل قرار گرفتن قطب جنوب مغناطیسی در قطب شمال زمین است. سنگ آهنربا اگر چه ابعاد کوچکتری نسبت به کره زمین دارد اما مثل آن، آهنرباست.

این آهنربا یکدیگر را جذب و دفع می کنند. طرز کار قطب نما هم بر همین منوال است،‌ در اصل قطب نما یک میله مغناطیسی (آهنربایی) است که به شکل یک عقربه در آمده و داخل یک محفظه محافظ، قرار گرفته. دور تا دور این محفظه، عددهایی دارد که هر کدام بخشی از 360 درجه یک دایره کامل را نشان می دهد. این عقربه چون آهنرباست، همیشه در راستای شمال و جنوب جغرافیایی قرار می گیرد. قطب های ناهمنام این عقربه و زمین که هر دو از جنس آهنربا هستند به سمت هم قرار می گیرند و لی چون قطب های مغناطیسی زمین در دو سمت جنوب و شمال خود بی حرکت هستند، پس عقربه بعد از ثابت ماندن،‌ دقیقا در راستای شمال و جنوب می ایستد و به این ترتیب جهت عقربه، جهت شمال جغرافیایی را نشان می دهد. این اصل در همه جای این کره زمین و در هر لحظه از شبانه روز صادق است.

محل و مشخصات تصویر در عدسی مقعر

برای یافتن محل تصویر مجازی ، رسم مسیر دو پرتو خارج شده از رأس شیء كافی است.

به مدل سازی زیر توجه كنید. سعی كنید موقعیت شئ را جابه جا كنید. تصویر در چه ناحیه ای تشكیل می شود و دارای چه ویژگی است؟

شئ : در مقابل عدسی مقعر تصویر : بین عدسی و ‏كانون ( پشت عدسی ) كوچكتر مستقیم مجازی

در صورتی كه فاصله شئ تا عدسی را با علامت ( p ) و فاصله تصویر تا عدسی را با علامت ( q ) و فاصله كانونی عدسی را با علامت ( f ) مشخص كنیم ، رابطه زیر بین این كمیت ها بر قرار است:

برای علاقمندان به دانستن بیشتر !

در شكل فوق دو مثلث ABH و MNH با یكدیگر متشابه اند. از این تشابه تساوی (1) نتیجه می شود.

در این شكل دو مثلث GHF و MNF با یكدیگر متشابه اند. از این تشابه تساوی (2) نتیجه می شود.

از آنجا كه AB = GH ، تساوی های (1) و (2) به صورت زیر در می آید:

با تركیب تساوی های (3) و (4) ، تساوی (5) حاصل می شود.

قدم بعدی آن است كه به جای هر یك از چهار پاره خط شركت كننده در رابطه (5) ، مقدار آنها را بر حسب p (فاصله شئ تا عدسی) ، q (فاصله تصویر تا عدسی) وf (فاصله كانونی یا نصف شعاع عدسی) قرار دهیم .

با دقت در شكل و ناچیز فرض كردن اثر انحنای عدسی ، چهار رابطه زیر به دست می آید:

بنابرین ، تساوی (5) به صورت زیر در می آید:

(p / q = f / ( f -q

با ضرب طرفین و وسطین تساوی فوق ، تساوی زیر به دست می آید:

با ساده كردن ، رابطه زیر به دست می آید:

با تقسیم دو طرف این تساوی بر pqf ، تساوی مهم زیر به دست می آید:

در صورتی كه به دلیل مجازی بودن ، علامت منفی در خود مقادیر q و f مستتر باشد ، تساوی به صورت زیر در می آید:

در مدل سازی زیر فاصله كانونی عدسی مقعـر 1cm- است. شما می توانید موقعیت جسم را تغییر دهید. برای این منظور بر روی object pocition تقه زده و آن را جابجا كنید.

به دقت به معادله عدسی توجه كنید.

مشاهده می كنید فاصله q طوری متناظر p تغییر می كند كه معادله عدسی همیشه برقرار است.

آیا q همیشه منفی است؟

نوع عدسی مقعر را تغییر دهید. برای این منظور برروی (Bi-covcave lens) تقه زده و شكل های مختلف را انتخاب كنید. آیا معادله عدسی تغییر می كند؟

برای مشاهده ی این مدلسازی اینجا کلیک کنید و فایل index را اجرا کنید.

اثر فشار و ناخالصی روی نقطه ذوب و انجماد

شاید بارها شنیده‏اید كه اگر به یخ صفر درجه گرما داده شود آنگاه یخ ذوب می‏شود.

* به نظر شما آیا در ارتفاعات برف در دمای صفر درجه ذوب می‏شود؟

* آیا دانش‏آموزان شهرهای مختلف ایران نقطه ذوب را یكسان به دست می‏آورند؟

در تصویرهای زیر سیمی به همراه وزنه به قطعه یخی متصل شده است. این مجموعه در دمای محیط قرار دارد.

به نظر شما چرا سیم داخل یخ فرو می‌رود؟ آیا فشار زیاد سیم باعث ذوب شدن یخ گردیده است؟ آیا افزایش فشار نقطه ذوب را تغییر می‌دهد؟

محفظه بسته شیشه‌ای که در تصویر ذیل مشاهده می نمایید، حاوی مقدار كمی آب است. این مجموعه داخل ظرف یونولیتی قرار دارد. اگر داخل ظرف اكسیژن مایع ریخته شود (یعنی هوای بسیار بسیار سرد) و بر اثر آن فشار هوای داخل محفظه به شدت كم شود آنگاه چه اتفاقی برای آب داخل محفظه روی می‌دهد؟

برای مشاهده پاسخ با دقت به دو شکل زیر نگاه کنید. آیا آب یخ زده است؟

اگر مطالب و آزمایش‏های بالا را (كه به راحتی می‏توان تجربه كرد) انجام دهید، متوجّه می‏شوید كه تغییر فشار هوا (تغییر ارتفاع) و كم و زیاد كردن ناخالصی در مواد، روی نقطه ذوب و انجماد آن ها تأثیر می‏گذارد، به طوری كه افزایش فشار باعث افزایش نقطه ذوب و بالعكس، كاهش فشار باعث كاهش نقطه ذوب اجسام می‏گردد. به عنوان مثال نقطه ذوب طلا در فشار یك اتمسفر برابر 1067_c است كه در شهرهای بالاتر از سطح دریا به خاطر كاهش فشار هوا نقطه ذوب طلا كاهش می‏یابد. یعنی در دمایی پایین‏تر از 1067_c، طلا ذوب می‏شود.

وجود ناخالصی در آب باعث تغییر نقطه ذوب آب می‏شود به طوری كه با افزایش ناخالصی، نقطه ذوب كاهش می‏یابد. به عنوان مثال با افزودن نمك در آب می‏توان نقطه انجماد آن را به رساند.

آب خالص در حال ذوب	آب و نمك در حال ذوب

بر همین اساس برای ذوب شدن برف روی زمین وجاده ها مقداری نمک بر سطح آن می پاشند. مانند تصاویر زیر ماشین که حمل نمك و طریقه استفاده از آن را مشاهده می‌كنید.

ذوب شدن برف زیر ماشین	ماشین حمل نمك

در این تصویر نیز فردی را در حال پخش كردن نمك روی زمین یخ زده، مشاهده می‌كنید.

به نظر شما كار وی چه فایده‌ای دارد؟

جواب:

افزودن ناخالصی روی برف، نقطه ذوب را پایین می‏آورد. بنابراین برف در دمایی پایین تر از 0C شروع به ذوب شدن می‏كند.

گرمای نهان تبخیر و میعان

به نظر شما گرمای مورد نیاز برای بخار كردن یك مایع به چه عواملی بستگی دارد؟

آیا گرمای مورد نیاز برای بخار كردن یك لیوان آب و یك پارچ آب با هم برابر است؟

آیا برای بخار كردن مقداری آب و جیوه (هم جرم) به یك میزان گرما نیاز داریم؟

با توجّه به تجربه روزمره و بررسی‏های ساده درمی‏یابیم كه گرمای مورد نیاز برای تبخیر یك مایع به جرم و جنس جسم آن بستگی دارد و با انجام آزمایش دقیق مشاهده می‏كنیم كه گرمای مورد نیاز برای تبخیر(Q) با جرم جسم (m) رابطه مستقیم دارد یعنی:

و برای تبدیل تناسب به تساوی به یك ضریب نیاز داریم كه در اینجا به جنس جسم بستگی دارد و با L_V نشان داده می‏شود. بنابراین داریم:

Q_V=mL_V

گرمایی كه به یك مایع در نقطه جوش می‏دهیم تا بخار شود گرمای نهان تبخیر (Q_V) نام دارد.

مقدار گرمایی كه باید به یك كیلوگرم از یك ماده در دمای نقطه جوش داده شود تا به بخار تبدیل شود گرمای نهان ویژه تبخیر (L_V) نام دارد.

البته مطلب مشابهی برای میعان هم تعریف می‏شود. با این تفاوت كه به جای تبخیر فرآیند حرارتی میعان و گرمای لازم برای آن مورد بررسی قرار می‏گیرد.

گرما نهان میعان مقدار گرمایی است كه از یك گاز گرفته می‏شود و باعث می‏گردد تا آن ماده در دمای ثابت مایع گردد.

مقدار گرمایی كه باید از یك كیلوگرم از یك گاز در دمای میعان گرفته شود تا به مایع تبدیل شود گرمای نهان ویژه میعان (L_V) نام دارد.

در جدول زیر گرمای نهان ویژه تبخیر چند ماده آمده است.

همان طور كه تا كنون متوجّه شدید تبخیر فرآیندی گرما گیر است. بر همین اساس وقتی آب بدن انسان به صورت عرق تبخیر می‌شود باعث خنك شدن بدن می‌شود.

و حتی در حیوانات، عمل تبخیر آب در زبان آنها نیز (به مقدار قابل توجّه) باعث خنك شدن آنها می‌شود.

گرمایی كه جسم می‏گیرد تا ذوب شود برابر گرمایی است كه جسم از دست می‏دهد تا منجمد شود. بنابراین می‏توان گرمای نهان انجماد را نیز با همان فرمول بیان كرد. همچنین گرمای نهان جوش و گرمای نهان میعان هم یكی است. اما برای اینكه بین انجماد و ذوب یا بین تبخیر و میعان تفاوت قائل شویم یك قرار داده ساده فرض می‌كنیم. هنگامی كه جسم گرما می‏گیرد آنرا با علامت مثبت (+) و وقتی گرما از دست می‏دهد آن را با علامت منفی (-) نشان دهیم بنابراین داریم:

در یك جمع بندی با توجّه به نمودار زیر می‏توان گفت:

با دادن گرمای Q دمای جسم جامد افزایش می‏یابد تا به نقطه ذوببرسد. از این به بعد با دادن گرمای Q_f جسم جامد در دمای ثابتبه مایع تبدیل می‏شود (به عبارتی ذوب می‏شود).

حال با دادن گرمای دمای مایع افزایش می‏یابد تا به نقطه جوش برسد. در اینجا با دادن گرمای Q_v، مایع در دمای ثابت به گاز تبدیل می‏شود. اگر فرآیند گرما دادن ادامه یابد دمای گاز افزایش می‏یابد. به طور مثال با گرمای Q₂ به دمای می‏رسد.

با توجّه به مطلب بالا نمودار گرما (Q) بر حسب دما( ) ، برای تبدیل یك جسم جامد به گاز در سمت راست، رسم شده است.

مسائل سطح شیبدار با اصطكاك

جسمی به جرم m روی سطح شیبدار با ضریب اصطكاك جنبشی رو به پایین درحال حركت است. شتاب حركت را پیدا كنید.

راهنمایی:

FBD همچون مسأله سطح شیبدار بدون اصطكاك است، منتهی در اینجا نیروی اصطكاك جنبشی f_k رو به بالا (خلاف جهت حركت) اضافه می‏گردد.

در اینجا چون سر و كلّه اصطكاك ظاهر شد، ابتدا باید نیروی عمودی تكیه‏گاه (N) را از رابطه به دست آوریم.

(در اینجا منظور از جهت y، جهت عمود بر سطح شیبدار است).

حل:

در مثال فوق جرم جسم را ١٠kg در نظر گرفته، زاویه سطح شیبدار را ^.٣٠ لحاظ كرده و با فرض ضریب اصطكاك جنبشی شتاب را به دست آورید.

 

 

جسمی به جرم m روی سطح شیبداری با زاویه و ضریب اصطكاك جنبشی با تندی اوّلیه V_٠ رو به بالا در حال حركت است. ابتدا شتاب حركت را محاسبه كرده و سپس زمان توقف و طول خط ترمز را پیدا كنید.

مجدداً همه چیز همچون مثال سطح شیبدار بدون اصطكاك است. فقط در اینجا یك نیروی اصطكاك f_k رو به پایین (خلاف جهت حركت) ایجاد می‏شود.

حل:

كامل ترین نمودار در حل مسائل دینامیك به شکل زیر است.

جسمی به جرم ٢٠kg روی سطح شیبداری به زاویه ٥٣^٠ با ضریب اصطكاك جنبشی قرار دارد و با نیروی رو به بالا و موازی سطح F = 200N در حال حركت رو به بالا می‏باشد.

شتاب حركت را به دست آورید.

راهنمایی:

ابتدا برای جسم FBD رسم می‏كنیم.

سپس به كمك ، N را می بابیم.

سرانجام با توجّه به رابطه ma = (موازی سطح شیبدار) شتاب را به دست می‏آوریم.

حل:

حل مسأله ماشین آتوود

در تصویر مقابل یك اتاقك آسانسور ١١٥٠kg و یك وزنه سربی ١٠٠٠kg را مشاهده می‏كنید كه توسط یك كابل و قرقره به هم وصل شده‏اند. اگر از جرم كابل در مقابل جرم های وزنه و اتاقك صرفنظر كنیم، شتاب حركت اتاقك و وزنه سربی و نیروی كشش كابل را محاسبه كنید.

راهنمایی:

باز یك مسأله دینامیكی و دو مرحله‏ی متداول:

ابتدا رسم FBD هم برای m₁ و هم برای m₂ و هم به طور مشترك برای مجموعه m₁ و m₂.

 

 

هنگامی كه برای مجموعه FBD رسم می‏كنیم از نیروهای كشش كابل T كه نیروهای داخلی هستند، صرفنظر می‏كنیم و بدین وسیله شتاب به راحتی قابل محاسبه است. از طرفی چون m₁ > m₂ ، پس جرم m_١ رو به پایین و m_٢ رو به بالا حركت می‏كند، پس m_١g نیروی محرك بوده و m_٢g نیروی مقاوم است.

حال ma = را می‏نویسیم.

به عنوان اولین مسأله قرقره، به 2 روش این مسأله را حل می‏كنیم. یك بار رابطه ma = را برای دو جسم جداگانه می‏نویسیم و 2 معادله 2 مجهول را حل می‏كنیم و یك بار دیگر ابتدا برای كل سیستم FBD رسم می‏كنیم (نیروی كشش نخ داخلی است.) و شتاب را به دست می‏آوریم و سپس برای تك تك اجسام FBD رسم می‏كنیم و با داشتن شتاب نیروی كشش نخ را به دست می‏آوریم.

 

حل:

روش اول:

 

 

البته معادلات فوق را میتوان در حالت كلی حل نمود و بدین ترتیب در ماشین آتوود خواهیم داشت:

حل مسأله قرقره

مطابق شكل زیر اگر m₁ = 22kg و m₂ = 8kg باشد و از همه اصطكاك‏ها صرفنظر كنیم، شتاب حركت وزنه‏ها و نیروی كشش نخ را محاسبه كنید. (از جرم طناب و قرقره صرفنظر نمایید.)

 

راهنمایی:

ابتدا برای كل سیستم(FBD) رسم می‏كنیم. برای نیروهای وارد بر m_١ آن ها را به دو راستای موازی سطح شیبدار و عمود بر سطح شیبدار تجزیه می‏كنیم.

با رسم (FBD) برای كل سیستم، شتاب a را محاسبه كرده و سپس با رسم (FBD) برای تك تك اجزاء (یكی كافی است) نیروی كشش طناب T را می‏یابیم.

 

برای یافتن جهت حركت، در دو انتهای سیستم نیروهای محرك را به دست می‏آوریم. (بدون در نظر گرفتن اصطكاك ‏ها و كشش نخ) حال جهت حركت در سیستم، به سمت نیروی محرك قوی‏تر است و در نتیجه جهت اصطكاك خلاف آن می‏باشد.

واضح است كه در اینجا حركت مجموعه در جهت عقربه‏های ساعت است، چرا كه:

 

 

حل:‌

 

 

 

حال با رسم FBD این پاسخ را امتحان می‏كنیم:

 

یك جعبه m₂ = 3/5kg روی یك سطح افقی بدون اصطكاك قرار دارد و به دو قرقره به جرم‏های m₁ = 1/5kg وm₃ = 2/5kg وصل شده است. (مطابق شكل) شتاب سیستم و كشش هر یك از نخ‏ها را به دست آورید. (از جرم نخ‏ها و قرقره‏ها صرفنظر كنید.)

 

راهنمایی:

باز ابتدا برای كل سیستم FBD رسم می‏نماییم از نیروهای داخلیT_١ و T_٢ صرفنظر می‏كنیم. از روز روشن‏تر است كه سیستم به سمت m_٣ حركت می‏كند. حال با نوشتن رابطه ma=، شتاب را به دست می‏آوریم.

سپس یك بار برایm_١ و یك بار برای m_٣،FBD را رسم می‏نماییم و با نوشتن رابطه ma =،برای هر كدام،T_١ و T_٢ را به دست می‏آوریم.

حل:

حال برای امتحان مقادیر T_١ و T_٢ از نوشتن رابطه ma = برای m_٢ بهره برداری می‏كنیم:

فشار پیمانه‌ای

شكل زیر نوع دیگری از فشارسنج‌ ها را نشان می‌دهد كه به آن فشار سنج گازی می‌گویند.

این نوع از فشار سنج یك طرف لوله U شكل باز است و با هوا در تماس می‌باشد و طرف دیگر آن به محفظه گاز وصل است. در لوله مقداری مایع (معمولاً جیوه) قرار دارد.

فرض كنید فشار گاز داخل محفظه با P_٢ نشان داده شود. وقتی فشار P_٢ برابر فشار هوای بیرون باشد سطح جیوه در طرفین لوله یكی خواهد بود.

وقتی فشار داخل محفظه بیشتر از فشار هوای بیرون باشد، مایع سمت چپ لوله به سمت پایین و طرف راست آن به بالا رانده می‌شود. به كمك رابطه می توان فشار داخل ظرف را به دست آورد.

بالای ستون جیوه سمت راست با هوا تماس دارد بنابراین فشار آن برابر یك اتمسفر P₁ = P_atm است.

فشار نقاط A و B كه در یك ارتفاع هستند برابر است. بنابراین خواهیم داشت:

ارتفاع h متناسب با اختلاف فشار P₂ - P_atm است. به اختلاف فشار گاز با فشار هوا (یعنیP₂ - P_atm ) فشار پیمانه‌ای می‌گویند.

فشار P_٢ به عنوان فشار مطلق شناخته می‌شود.

فشارسنج طبی یك وسیله متداول برای اندازه گیری فشار خون است. همانطور كه شكل زیر نشان می‌دهد بر اثر فشردن یك حباب لاستیكی، هوا از طریق یك شیلنگ نازك وارد یك دست بند می‌شود و باعث بزرگ شدن آن می‌گردد. بدین ترتیب مسیر عبور خون بسته می‌شود.

وقتی شیر دست بند كمی باز می‌شود هوای آن به آرامی خارج می‌شود. هنگامی كه قلب خون را با فشار پمپ می‌كند لحظه‌ای فرا می‌رسد كه فشار خود از فشار دست بند بیشتر می‌گردد و جریان خود مجدداً برقرار می‌شود.

به كمك گوشی طبی می‌توان صدای جریان اولیه خون را شنید. همزمان با این صدا، پزشك فشار كیسه هوای دست بند را اندازه می‌گیرید. در شكل بالا فشار دست بند توسط اختلاف سطح سیال درون لوله اندازه گیری می‌شود.

همانطور كه می‌دانید این فشارسنج به راحتی فشار پیمانه‌ای را اندازه می‌گیرد. معمولاً فشار پیمانه ای خون یك فرد جوان و سالم حدود ٨٠ الی ١٢٠ میلی متر جیوه است كه اصطلاحاً به آن فشار 8 تا 12 گفته می‌شود.

به فیلم زیر توجه کنید.

برای مشاهده فیلم کلیک کنید.

به نظر شما نقش فشار هوا در نریختن آب درون ظرف چیست؟

محاسبه مساحت زیر نمودار سرعت-زمان

شكل زیر یك مستطیل را نشان می‌دهد كه مساحت آن از رابطه L (طول ضرب‌در عرض) به دست می‌آید. در اینجا، واحد طول نمودار زمان و عرض آن سرعت است.

بنابراین مساحت زیر نمودار برابر حاصل ضرب در t است. از دیدگاه واحد داریم:

پس مساحت زیر نمودار نشان دهنده مسافت است.

در حقیقت مساحت زیر نمودار سرعت-زمان نشان دهنده جا به جایی متحرك در بازه زمانی داده شده است.

 

 

جا به جایی در این مثال مثبت است زیرا نمودار در بالای محور t قرار دارد.

اگر سرعت منفی ‌باشد آنگاه جا به جایی نیز منفی می‌شود.

 

به تصویر مقابل توجه كنید.

در این حركت جا به جایی برابر مساحت زیر نمودار است، و خواهیم داشت:

جمع بندی سه روش تحلیل نمودار سرعت-زمان در زیر آمده است.

شتاب جانب مركز و شتاب مماسی

وقتی یك جسم با سرعت متغیّر حول دایره‌ای حركت كند آنگاه دارای شتاب مماسی است. از طرف دیگر، در گذشته مشاهده نمودید كه این جسم دارای شتاب جانب مركز نیز می‌باشد. در آنجا ما با حركت یكنواخت دایروی سروكار داشتیم و جسم با سرعت مماسی ثابت حول دایره حركت می‌كرد.

در حقیقت سرعت مماسی V_T اندازه سرعت مماسی است. در آنجا اگر چه سرعت مماسی ثابت بود ولی متحرّك دارای شتاب جانب مركز بود زیرا راستای سرعت در هر لحظه تغییر می‌كرد. از آنجا كه راستای شتاب به سمت مركز دایره حركت است به آن شتاب جانب مركز می‌گویند.

تصویر زیر شتاب جانب مركز a_c را در حركت یك هواپیمای مدل (با كنترل كابلی) نشان می‌دهد.

اندازه a_c از رابطه زیر به دست می‌آید.

T در این رابطه بر مماسی بودن سرعت هواپیما تأكید می‌كند.(مماس = Tangent)

اگر سرعت مماسی V_T را بر حسب سرعت زاویه‌ای بیان كنیم آنگاه خواهیم داشت: V_T=r

در این رابطه بایستی بر حسب ^rad/_s گذاشته شود. در حالت كلی، اگر جسم به صورت یكنواخت حول نقطه‌ای دوران كند آنگاه حركت آن فقط دارای شتاب جانب مركز خواهد بود. در مقابل اگر سرعت مماس آن در حین حركت به دور مركز دایره تغییر كند آنگاه حركت علاوه بر شتاب جانب مركز دارای شتاب مماسی نیز خواهد بود.

به شكل زیر توجّه كنید.

 

 

در این تصویر حركت هواپیما با دو شتاب مماسی و جانب مركز در نظر گرفته شده است. شتاب مماسی توسط نیروی موتور هواپیما و مقاومت هوا حاصل می‌شود. شتاب جانب مركز توسط نیروی وارده از كابل به هواپیما اعمال می‌گردد.

برای مشاهده فیلم کلیک کنید.

همانطور كه ملاحظه نمودید اگر هواپیما با سرعت زاویه حركت كندآنگاه شتاب جانب مركز از رابطه^٢ ac=r به دست می آ‌ید.

و اگر سرعت زاویه‌ای تغییر كند آنگاهحركت دارای شتاب مماسی نیز خواهد بود كه از رابطه a_T=rیا ٌaT=r به دست می‌آید. ( ٌ در اینجا به معنی مشتق نسبت به زمان است و معادل می‌باشد یعنی ٌ = .

البته شتاب كل از رابطه زیر قابل محاسبه می‌باشد:

حل تمارین نیم عمر

فرض كنید جرم ماده‌ایی رادیواكتیو با نیم عمر T برابر M باشد بعد از گذشت t ثانیه چه جرمی از آن توانایی پرتوزایی را دارد؟

راهنمایی و حل:

همان طور كه می‌دانید پس از گذشت زمان نصف T باقی می‌ماند و پس از گذشت زمان 2t یك چهارم _.M باقی می‌مانند …. بنابراین خواهیم داشت:

همانطور كه در بالا می‌بینید برای جرم باقی مانده می‌توان نوشت:

یا

 

نیم عمر یك ماده رادیواكتیو 6 ساعت است. پس از یك شبانه روز چند گرم از ماده هنوز خاصیت رادیواكتیوی را خواهد داشت در صورتی كه جرم ماده 10 گرم باشد؟

راهنمایی و حل:

راه اول:

بعد از گذشت 24 ساعت 4 نیم عمر طی شده است پس:

راه دوم:

یك عنصر رادیواكتیو در مدت 130 دقیقه جرم اولیه آن تجزیه نشده باقی می‌ماند. نیم عمر آن چند دقیقه است؟

راهنمایی و حل:

جرم ماده باقی مانده از رابطه زیر به دست می‌آید:

بنابراین خواهیم داشت: